NTTドコモ、au/KDDI、ソフトバンクを契約しているなら、緊急速報メールが届きます。今の端末であれば、届きます。
格安SIMでSIMフリースマホを使っている場合には、そのままでは届きません。届く場合もありますが、この辺が微妙なところです。
確実な方法として、「Yahoo! 防災速報」というアプリをインストールしておくのが良いです。プッシュ通知の設定をしておけば確実です。（インターネットに接続されている、スマホの電源を入れておく、というのが最低条件です。）
今後は、Jアラートが使われる（？、あまり使われるのも困りますが・・・。）と、不具合などが修整されて、より使いやすくなっていくと考えます。
全国瞬時警報システム（Jアラート）
